الجبر الخطي الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

أوجِد القيم الذاتية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$

خطوة 1.2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $3$ هي المصفوفة المربعة $3 \times 3$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 1.3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

خطوة 1.3.2

عوّض بقيمة $I_{3}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.4.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.4.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.6.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.6.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.7.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.7.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.2.8.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.8.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 1.4.1.2.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 1.4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

أضف $- 4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.2

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.4

أضف $0$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.5

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.4.3.6

أضف $- 11$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 & - 11 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 1.5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

خطوة 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

خطوة 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} | + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

خطوة 1.5.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$ .

$p (λ) = - 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} | + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 2 (- 4 (2 - λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 2 (- 4 \cdot 2 - 4 (- λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 - 4 (- λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.4

اضرب $- (- 11 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.4.1

اضرب $- 11$ في $2$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ - - 22) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 22$ .

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ + 22) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.3.2.2

أضف $- 8$ و $22$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

خطوة 1.5.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

وسّع $(1 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.2

اضرب $- λ$ في $1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- λ$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 6) + 0$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $6$ من $2$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0$

خطوة 1.5.4.2.3

أعِد ترتيب $- 3 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

خطوة 1.5.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.1

أضف $- 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ و $0$ .

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

خطوة 1.5.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 2 (4 λ) - 2 \cdot 14 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

خطوة 1.5.5.2.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$p (λ) = - 8 λ - 2 \cdot 14 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

خطوة 1.5.5.2.3

اضرب $- 2$ في $14$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

خطوة 1.5.5.2.4

وسّع $(- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} - 7 (- 3 λ) - 7 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.5.1

اضرب $- 3$ في $- 7$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ - 7 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.2

اضرب $- 7$ في $- 4$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.3

اضرب $λ$ في $λ^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.5.3.1

انقُل $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.3.2

اضرب $λ^{2}$ في $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.5.3.2.1

ارفع $λ$ إلى القوة $1$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.3.3

أضف $2$ و $1$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.2.5.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.6

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

خطوة 1.5.5.2.5.7

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ$

خطوة 1.5.5.2.6

أضف $- 7 λ^{2}$ و $3 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 4 λ$

خطوة 1.5.5.2.7

أضف $21 λ$ و $4 λ$ .

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 25 λ + 28 - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 25 λ + 28 - λ^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.5.3.1

أضف $- 28$ و $28$ .

$p (λ) = - 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ + 0 - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.3.2

أضف $- 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ$ و $0$ .

$p (λ) = - 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.4

أضف $- 8 λ$ و $25 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 17 λ - λ^{3}$

خطوة 1.5.5.5

انقُل $17 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - λ^{3} + 17 λ$

خطوة 1.5.5.6

أعِد ترتيب $- 4 λ^{2}$ و $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ$

خطوة 1.6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ = 0$

خطوة 1.7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - 4 λ^{2} + 17 λ = 0$

خطوة 1.7.1.2

أخرِج العامل $- λ$ من $- 4 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ) + 17 λ = 0$

خطوة 1.7.1.3

أخرِج العامل $- λ$ من $17 λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ) - λ \cdot - 17 = 0$

خطوة 1.7.1.4

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ (λ^{2}) - λ (4 λ)$ .

$- λ (λ^{2} + 4 λ) - λ \cdot - 17 = 0$

خطوة 1.7.1.5

أخرِج العامل $- λ$ من $- λ (λ^{2} + 4 λ) - λ (- 17)$ .

$- λ (λ^{2} + 4 λ - 17) = 0$

خطوة 1.7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ = 0$

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$

خطوة 1.7.3

عيّن قيمة $λ$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ = 0$

خطوة 1.7.4

عيّن قيمة العبارة $λ^{2} + 4 λ - 17$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

عيّن قيمة $λ^{2} + 4 λ - 17$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$

خطوة 1.7.4.2

أوجِد قيمة $λ$ في $λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.7.4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = - 17$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 17)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 17}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 17$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 17}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 17$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 68}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.3

أضف $16$ و $68$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.4

أعِد كتابة $84$ بالصيغة $2^{2} \cdot 21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $84$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$λ = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.7.4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

خطوة 1.7.4.2.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$λ = - 2 \pm \sqrt{21}$

خطوة 1.7.4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = - 2 + \sqrt{21}, - 2 - \sqrt{21}$

خطوة 1.7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- λ (λ^{2} + 4 λ - 17) = 0$ صحيحة.

$λ = 0, - 2 + \sqrt{21}, - 2 - \sqrt{21}$

خطوة 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

خطوة 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $0$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.3

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.4

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.5

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.6

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.7

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.8

اضرب $0$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 3.2.1.2.9

اضرب $0$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أضف $1$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.2

أضف $- 4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.3

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.5

أضف $- 7$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.7

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.8

أضف $- 11$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 0 \end{array}]$

خطوة 3.2.2.2.9

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$

خطوة 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 7 & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 7 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \cdot - 4 & 2 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 4 & 0 - 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 \cdot - 4 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.2.4.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 14 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 14 z = 0$

$y - 4 z = 0$

$0 = 0$

خطوة 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 14 z \\ 4 z \\ z \end{array}]$

خطوة 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}]$

خطوة 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2 + \sqrt{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - (- 2 + \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (- - 2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.2

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.3

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.4

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.5

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.6

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.7

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.8

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.1.4.9

اضرب $2 - \sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 - \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

أضف $1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.2

أضف $- 4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.5

أضف $- 7$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.7

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.8

أضف $- 11$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.2.3.9

أضف $2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 4.3

Find the null space when $λ = - 2 + \sqrt{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{21}}{3 - \sqrt{21}} & \frac{- 4}{3 - \sqrt{21}} & \frac{2}{3 - \sqrt{21}} & \frac{0}{3 - \sqrt{21}} \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - \sqrt{21} - 2 \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 - 2 (- \frac{3 + \sqrt{21}}{6}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 4 - \sqrt{21} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{21}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot 0 & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} (- \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3}) & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 - \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 - \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 0 & - 14 - \sqrt{21} - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 1 & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} - (- 14 - \sqrt{21}) (- \frac{7 - \sqrt{21}}{14}) & 0 - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} (- \frac{7 - \sqrt{21}}{14}) & 0 - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} z = 0$

$y - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ z \end{array}]$

خطوة 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2 - \sqrt{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بالقيم المعروفة في القاعدة.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - (- 2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (- - 2 - - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 - - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- - \sqrt{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 + 1 \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.3.2

اضرب $\sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 + \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.5.1

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.2

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.3

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.4

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.5

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.6

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.7

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.8

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 5.2.1.5.9

اضرب $2 + \sqrt{21}$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 + \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $1$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.2

أضف $- 4$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.3

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.4

أضف $2$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.5

أضف $- 7$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.6

أضف $0$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.7

أضف $3$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.8

أضف $- 11$ و $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.2.3.9

أضف $2$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} \end{array}]$

خطوة 5.3

Find the null space when $λ = - 2 - \sqrt{21}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{21}}{3 + \sqrt{21}} & \frac{- 4}{3 + \sqrt{21}} & \frac{2}{3 + \sqrt{21}} & \frac{0}{3 + \sqrt{21}} \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 + \sqrt{21} - 2 \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 - 2 (- \frac{3 - \sqrt{21}}{6}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 4 + \sqrt{21} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{21}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot 0 & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} (- \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3}) & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 + \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 + \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 0 & - 14 + \sqrt{21} - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 1 & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} - (- 14 + \sqrt{21}) (- \frac{7 + \sqrt{21}}{14}) & 0 - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} (- \frac{7 + \sqrt{21}}{14}) & 0 - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.2.6.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

خطوة 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} z = 0$

$y - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} z = 0$

$0 = 0$

خطوة 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ z \end{array}]$

خطوة 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]$

خطوة 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

خطوة 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$

خطوة 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$